Princípios de Economia e Gestão I

Sessão 2 · Escolha do Consumidor

Autores

Afiliação

Introdução

🔁 De Onde Vimos

A sessão 1 deu a lógica toda de uma escolha racional: o excedente \(B - C\), e o custo de oportunidade que decide entre opções.

Mostrou também que um declive pode ser um custo de oportunidade. Era a \(TMT\) da fronteira de produção, para uma economia inteira. 📐

Hoje a mesma leitura volta do lado do consumidor, e escrevemos o problema como deve ser e resolvemo-lo. A matemática já a tens; só estamos a fornecer a economia.

🇵🇹 Tradução para português dos slides em inglês. A versão de referência é a inglesa.

🗺️ O Mapa de Hoje

1. 📜 O que assumimos sobre as preferências, e para que serve a utilidade
2. ⚠️ Porque o número que a utilidade dá não tem informação
3. 📈 Curvas de indiferença, e o que é o seu declive
4. 💶 O conjunto orçamental, e o que o faz mexer
5. 🧮 \(\max U\) sujeito à restrição, direto ao Lagrangiano
6. 💡 \(\lambda\) como preço-sombra
7. 📉 A solução como função dos preços e do rendimento: a procura marshalliana
8. ➕ Uma segunda forma funcional, e porque é a forma que decide as respostas

Acabamos com uma função procura na mão. A próxima sessão transforma-a num mercado. 🔧

Parte 1 · Preferências e Utilidade

📜 O que Assumimos sobre as Preferências

Antes de qualquer função, quatro hipóteses sobre a ordenação \(\succsim\) dos cabazes:

Completas: para quaisquer dois cabazes, o consumidor consegue dizer qual prefere, ou que lhe são indiferentes.

Transitivas: se \(a \succsim b\) e \(b \succsim c\) então \(a \succsim c\). Sem isto não há um “melhor” cabaz para encontrar.

Monótonas: mais é melhor.

Convexas: as médias são pelo menos tão boas como os extremos.

📜 O que Assumimos sobre as Preferências

Completas e transitivas são o que nos deixa sequer falar de um melhor cabaz.

A completude exclui o “não sei dizer”. Põe quaisquer dois cabazes à frente do consumidor e há uma resposta.

A transitividade exclui ciclos. Supõe que \(a \succ b\), \(b \succ c\), e \(c \succ a\). 🔁

Então vendo-te \(a\) pelo teu \(c\) mais um cêntimo, depois \(b\) pelo teu \(a\) mais um cêntimo, depois \(c\) pelo teu \(b\) mais um cêntimo. Ficas com o que tinhas no início, três cêntimos mais leve, e eu posso repetir. 💸

Um consumidor com preferências intransitivas é uma máquina de me tornar rico. Por isso assumimos que não existe.

📜 O que Assumimos sobre as Preferências

Monótonas e convexas são sobre a forma, e as duas podem falhar.

Monótonas diz que mais é melhor. Falha para um mal: ninguém quer mais barulho, mais poluição, mais risco. 🔊

Falha também na saciedade. O décimo quinto café pode valer menos do que nada. ☕

Convexas diz que as médias são pelo menos tão boas como os extremos. Meio café e meio bolo é melhor do que dois cafés ou dois bolos, para a maioria das pessoas.

Falha quando dois bens não se misturam. Meia dose de arroz com meia dose de cereais de pequeno-almoço é pior do que uma dose inteira de qualquer um deles. 🍚

Utilidade

Com essas hipóteses, podemos representar \(\succsim\) por uma função utilidade \(U(x, y)\).

É uma representação, nada mais: \(U(a) \ge U(b)\) quer dizer exatamente \(a \succsim b\).

Escrevemos sempre \(U_x \equiv \partial U/\partial x\). A monotonia é \(U_x > 0\) e \(U_y > 0\); a utilidade marginal decrescente é \(U_{xx} < 0\) e \(U_{yy} < 0\): o décimo café vale menos do que o primeiro. ☕

Cuidado com estas duas: \(U_{xx} < 0\) é uma propriedade da função, enquanto a convexidade das preferências é uma propriedade dos seus conjuntos de nível: o conjunto dos cabazes pelo menos tão bons como um dado cabaz é convexo. Só a segunda é uma afirmação sobre preferências, pela razão do próximo slide. ⚠️

📖 Fonte: OpenStax Micro 3e, §6.1 “Consumption Choices”, “Total Utility and Diminishing Marginal Utility”.

⚠️ A Utilidade é Ordinal, Não Cardinal

Este ponto custa um slide e poupa muita confusão mais à frente.

Se \(f\) é estritamente crescente, \(U\) e \(f(U)\) descrevem exatamente as mesmas preferências. \(U = xy\) e \(V = \ln x + \ln y\) são o mesmo consumidor.

Portanto o número que a utilidade dá não tem significado. Só a ordenação sobrevive, e com ela qualquer rácio como \(U_x/U_y\).

“A Ana tem 40 utils e o Bruno 20, por isso a Ana é duas vezes mais feliz” não é uma afirmação que a economia possa fazer. 🚫

⚠️ A Utilidade é Ordinal, Não Cardinal

Toma \(U = xy\) e \(V = \ln x + \ln y\), e três cabazes:

Cabaz	\(U = xy\)	\(V = \ln x + \ln y\)
\((1, 4)\)	4	1,386
\((2, 2)\)	4	1,386
\((3, 3)\)	9	2,197

Os números são diferentes. A ordenação é idêntica, e os dois primeiros cabazes continuam empatados.

E o rácio sobrevive: \(V_x/V_y = (1/x)/(1/y) = y/x\), que é o que \(U\) dá. Tudo o que vamos fazer a seguir assenta nesse rácio. 🔁

📈 Curvas de Indiferença

Se só a ordenação sobrevive, desenha a ordenação. Fixa um número e junta todos os cabazes que o dão.

Com \(U = xy\), os cabazes que valem exatamente 4:

Todos os cabazes da curva valem o mesmo para este consumidor. É isso que indiferente quer dizer.

📈 Curvas de Indiferença

Muda o número e tens outra curva. Faz isso repetidamente e tens o mapa:

As curvas mais afastadas são melhores, porque mais é melhor. Nunca se cruzam: um cabaz não pode estar em duas ordenações diferentes. E \(V = \ln x + \ln y\) desenha estas mesmas curvas, com números diferentes. 🔁

📐 O Declive de uma Curva de Indiferença

Ao longo de uma curva, \(U\) não muda. Toma o diferencial total e iguala-o a zero:

\[U_x\,dx + U_y\,dy = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{dy}{dx} = -\frac{U_x}{U_y}\]

Portanto o rácio \(U_x/U_y\) é o declive da curva que acabaste de desenhar, a menos do sinal. 📐

Responde a uma pergunta: de quanto \(y\) abdica este consumidor por mais um \(x\), ficando exatamente tão bem como estava?

Guarda essa pergunta. Na Parte 2 é o mercado que responde à mesma, com \(p_x/p_y\). 🔁

🧊 Duas Formas a Ter em Mente

Dois casos limite são convexos, mas só à justa:

🔀 Substitutos perfeitos: \(U = ax + by\). Aqui \(U_x/U_y = a/b\) em qualquer cabaz, por isso o consumidor abdica de \(y\) por \(x\) à mesma taxa de troca, tenha o que tiver.

🔗 Complementos perfeitos: \(U = \min\{ax, by\}\). Os bens usam-se em proporções fixas, e mais \(x\) sem mais \(y\) não acrescenta nada. No vértice de cada curva, \(U_x/U_y\) não existe.

Voltamos aos dois na Parte 2, quando já houver preços. ⚠️

🧊 Duas Formas a Ter em Mente

Retas à esquerda: o declive é \(-a/b\) em todo o lado, por isso a troca nunca muda ao longo de uma curva.

Ângulos retos à direita: a partir do vértice, só mais \(x\) ou só mais \(y\) deixa o consumidor na mesma curva. No vértice não há declive nenhum. 📐

❓ Escolha Múltipla 1

\(U = xy\) é substituída por \(V = \ln x + \ln y\). As curvas de indiferença de \(V\):

A. São as mesmas curvas de \(U\), com números diferentes.

B. São diferentes, porque os números da utilidade são mais pequenos.

C. São retas, porque \(V\) é uma soma.

D. Não podem ser desenhadas onde \(V\) é negativa, ou seja onde \(xy < 1\).

✅ A. \(V = \ln U\) é uma transformação estritamente crescente, por isso ordena todos os pares de cabazes da mesma maneira e representa as mesmas preferências. Confirma o rácio: \(V_x/V_y = (1/x)/(1/y) = y/x\), exatamente o que \(U\) dá.

💬 Pergunta de Discussão

Para \(U(x, y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha}\), com \(0 < \alpha < 1\):

Mostra que \(\tfrac{U_x}{U_y} = \tfrac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\tfrac{y}{x}\), e diz de que depende.

\(U_x = \alpha x^{\alpha-1} y^{1-\alpha}\) e \(U_y = (1-\alpha) x^{\alpha} y^{-\alpha}\).

Dividindo, \(\tfrac{U_x}{U_y} = \tfrac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\tfrac{y}{x}\). Depende só do rácio \(y/x\), não do nível de utilidade. ✅

Parte 2 · O Problema do Consumidor

💶 O Conjunto Orçamental

Com rendimento \(M\) e preços \(p_x\), \(p_y\), o consumidor pode comprar qualquer cabaz com

\[ p_x\, x + p_y\, y \le M \]

A fronteira é a restrição orçamental, uma reta de declive \(-p_x/p_y\): a taxa a que o mercado te deixa trocar \(x\) por \(y\). 📉

Essa taxa é um custo de oportunidade, no sentido da sessão 1: mais um \(x\) custa \(p_x/p_y\) unidades de \(y\). A \(TMT\) dizia de que abdica a economia; \(p_x/p_y\) diz de que abdica o consumidor. 🔁

Com preferências monótonas o consumidor nunca para dentro do conjunto, por isso a restrição verifica-se com igualdade. É isso que nos deixa usar um Lagrangiano.

💶 O Conjunto Orçamental

Com \(M = 100\), \(p_x = 10\) e \(p_y = 5\): no máximo 10 de \(x\), no máximo 20 de \(y\), e a reta entre os dois tem declive \(-p_x/p_y = -2\).

💶 O Conjunto Orçamental

Sobe o rendimento para 150, com os preços iguais:

A reta desloca-se para fora, paralela. Nenhum preço mudou, por isso a taxa a que o mercado te deixa trocar \(x\) por \(y\) é a mesma. Simplesmente consegues comprar mais dos dois.

💶 O Conjunto Orçamental

Agora mantém o rendimento em 100 e deixa \(p_x\) descer de 10 para 5:

A reta roda em torno da ordenada na origem. Gastar tudo em \(y\) compra exatamente o que comprava antes, e o declive passou de \(-2\) para \(-1\): \(x\) está agora mais barato em termos de \(y\).

📖 Fonte: OpenStax Micro 3e, §2.1 “How Individuals Make Choices Based on Their Budget Constraint”.

🧮 O Problema, Escrito

Tudo até aqui cabe numa linha:

\[\max_{x,\,y} \; U(x, y) \quad \text{sujeito a} \quad p_x x + p_y y = M\]

Um objetivo suave, uma restrição linear. Já resolveste esta forma muitas vezes. Com preferências estritamente convexas as condições de primeira ordem são suficientes, e a solução é única, por isso não há verificação de segunda ordem a fazer.

Por isso vamos direto ao Lagrangiano, e gastamos o tempo no que a solução quer dizer e não em como encontrá-la.

🎯 A Solução, Desenhada

O melhor cabaz acessível é onde uma curva de indiferença apenas toca a reta orçamental.

🎯 A Solução, Desenhada

Os dois cabazes cinzentos daquela figura também são acessíveis, e estão ambos numa curva mais baixa.

Entre eles o consumidor consegue fazer melhor, e o melhor que consegue é o ponto de contacto. 🎯

Nesse ponto os dois declives coincidem: \[-\frac{U_x}{U_y} = -\frac{p_x}{p_y}\]

A taxa a que o consumidor está disposto a trocar é igual à taxa a que o mercado troca. Que é a equação que vamos tirar do Lagrangiano. 🔁

🧮 O Lagrangiano

\[\mathcal{L} = U(x, y) + \lambda\,(M - p_x x - p_y y)\]

Condições de primeira ordem: \[U_x = \lambda p_x, \qquad U_y = \lambda p_y, \qquad p_x x + p_y y = M\]

Três equações, três incógnitas \((x, y, \lambda)\). Resolvê-las é o problema todo.

🧮 O Lagrangiano

Faz uma vez com números. \(U = xy\), \(p_x = 10\), \(p_y = 5\), \(M = 100\):

\[\mathcal{L} = xy + \lambda\,(100 - 10x - 5y)\]

\[\mathcal{L}_x = y - 10\lambda = 0, \qquad \mathcal{L}_y = x - 5\lambda = 0, \qquad 100 - 10x - 5y = 0\]

Das duas primeiras, \(y = 10\lambda\) e \(x = 5\lambda\). Põe na terceira: \(100 = 50\lambda + 50\lambda\), portanto \(\lambda = 1\).

Então \(x^{*} = 5\) e \(y^{*} = 10\), que custam \(10(5) + 5(10) = 100\). ✅

Que é o cabaz para onde a figura de há dois slides apontava. 🎯

⚖️ Ler as Condições de Primeira Ordem

Divide as duas primeiras:

\[\frac{U_x}{U_y} = \frac{p_x}{p_y}\]

Rearranjado ao contrário, \(\tfrac{U_x}{p_x} = \tfrac{U_y}{p_y}\): a utilidade marginal por euro é a mesma em todas as direções.

Se não fosse, passavas um euro do bem com menor retorno para o de maior retorno e ganhavas. A condição é exatamente “não sobra nenhuma melhoria grátis”.

⚖️ Ler as Condições de Primeira Ordem

Supõe que falha. Num cabaz acessível, \(U_x/p_x = 3\) e \(U_y/p_y = 1\).

Tira um euro de \(y\) e põe-no em \(x\). Perdes 1 unidade de utilidade e ganhas 3. Saldo: +2. 📈

Portanto aquele cabaz não era o melhor. Continua a mudar euros enquanto os dois lados forem diferentes.

À medida que \(x\) sobe \(U_x\) desce, e à medida que \(y\) desce \(U_y\) sobe, por isso os dois rácios aproximam-se. Encontram-se exatamente onde as condições de primeira ordem se verificam, e aí já não há nada a ganhar. ✅

📖 Fonte: OpenStax Micro 3e, §6.1, “Choosing with Marginal Utility”, que chega à mesma regra de forma aritmética.

🧊 Duas Formas a Ter em Mente

De volta às duas formas da Parte 1, agora com \(p_x = 10\), \(p_y = 5\) e \(M = 100\):

Nenhum dos dois ótimos é um ponto onde uma curva toca a reta orçamental com o mesmo declive.

🧊 Duas Formas a Ter em Mente

Aplica o argumento de mudar euros a \(U = x + y\):

\(U_x/p_x = 1/10\) e \(U_y/p_y = 1/5\), em qualquer cabaz. Passar um euro de \(x\) para \(y\) dá sempre ganho.

Os dois rácios nunca se encontram, por isso o consumidor continua a mudar euros até não sobrar \(x\) nenhum: o canto \(x^{*} = 0\), \(y^{*} = 20\). Aí as condições de primeira ordem não se verificam com igualdade.

Para \(U = \min\{x, y\}\), \(U_x/U_y\) não existe no vértice, por isso não há nada para igualar a \(p_x/p_y\). O ótimo vem do próprio vértice, \(x = y\), e do orçamento: \(15x = 100\), portanto \(x^{*} = y^{*} = 20/3\).

Atenção aos dois nas fichas de exercícios. ⚠️

💡 O que \(\lambda\) É de Facto

O ótimo depende daquilo que o consumidor enfrenta. Muda \(p_x\), \(p_y\) ou \(M\) e as condições dão um \((x^{*}, y^{*})\) diferente.

Portanto a utilidade atingida no ótimo também é uma função dos preços e do rendimento: \[U^{*}(p_x, p_y, M) = U\big(x^{*}(p_x, p_y, M),\; y^{*}(p_x, p_y, M)\big)\]

Utilidade indireta: a utilidade do melhor cabaz acessível, como função dos preços e do rendimento.

Em termos de otimização, \(U^{*}\) é a função valor do problema do consumidor: o objetivo maximizado, como função dos parâmetros \((p_x, p_y, M)\).

Com \(U = xy\), \(p_x = 10\), \(p_y = 5\) e \(M = 100\) encontrámos \(x^{*} = 5\) e \(y^{*} = 10\), portanto \(U^{*} = 50\). A Parte 3 olha para o próprio \(x^{*}(\cdot)\); para \(\lambda\) só precisamos de \(U^{*}\).

💡 O que \(\lambda\) É de Facto

De qualquer condição de primeira ordem, \(\lambda = U_x/p_x = U_y/p_y\).

Pelo teorema do envelope, a derivada de \(U^{*}\) em ordem a \(M\) é a derivada de \(\mathcal{L}\) só em ordem ao \(M\) explícito, no ótimo: \[\frac{\partial U^{*}}{\partial M} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial M} = \lambda > 0\]

\(\lambda\) é a utilidade marginal do rendimento: o que mais um euro de orçamento vale para este consumidor. Um preço-sombra.

Guarda-o. A mesma leitura volta para a empresa na sessão 4, e para o orçamento do Estado na sessão 12. 🔁

💡 O que \(\lambda\) É de Facto

De volta a \(U = xy\), \(p_x = 10\), \(p_y = 5\), \(M = 100\), onde encontrámos \(\lambda = 1\) e \(U^{*} = 5 \times 10 = 50\).

Sobe o rendimento para \(M = 101\) e refaz: \(x^{*} = 5{,}05\), \(y^{*} = 10{,}1\), portanto \(U^{*} = 51{,}005\).

O euro extra comprou 1,005 unidades de utilidade, contra um \(\lambda = 1\) previsto. A diferença é o termo de segunda ordem: \(\lambda\) é uma derivada, por isso só é exato no limite. 📐

Agora, em vez disso, sobe \(p_x\) para 20, com \(M = 100\). Então \(x^{*} = 2{,}5\), \(y^{*} = 10\), e \(\lambda = U_x/p_x = 10/20 = 0{,}5\).

O mesmo euro de rendimento vale metade, porque o cabaz que compra é pior. É isso que faz de \(\lambda\) um preço. 💶

❓ Escolha Múltipla 2

Em \(\mathcal{L} = U(x,y) + \lambda(M - p_x x - p_y y)\), o multiplicador \(\lambda\) é:

A. O rácio de preços \(p_x/p_y\).

B. A utilidade marginal do rendimento.

C. A utilidade total do consumidor no ótimo.

D. Sempre igual a um num ótimo interior.

✅ B. Das condições de primeira ordem \(\lambda = U_x/p_x = U_y/p_y\), a utilidade marginal por euro. Pelo teorema do envelope é exatamente \(\partial U^{*}/\partial M\).

❓ Escolha Múltipla 3

No ótimo \(U_x/U_y = p_x/p_y\). Supõe em vez disso que \(U_x/p_x > U_y/p_y\). O consumidor deve:

A. Parar: o cabaz já é ótimo.

B. Comprar menos dos dois bens.

C. Passar um euro de \(y\) para \(x\), o que aumenta a utilidade.

D. Aumentar o rendimento, a única maneira de ganhar.

✅ C. Um euro gasto em \(x\) compra mais utilidade do que um euro gasto em \(y\), por isso mudar a despesa dá ganho. Só quando os dois são iguais é que não sobra nada para ganhar.

❓ Escolha Múltipla 4

Para que preferências não deves esperar que as condições de primeira ordem se verifiquem com igualdade?

A. \(U = x^{0{,}5}y^{0{,}5}\)

B. \(U = \ln x + 2\ln y\)

C. \(U = x^{0{,}3}y^{0{,}7}\)

D. \(U = \min\{2x,\, y\}\)

✅ D. Os complementos perfeitos têm uma quebra, por isso \(U\) não é diferenciável aí e a solução fica na quebra e não onde as derivadas se equilibram. As outras três são suaves.

🧮 Pergunta Numérica

\(U(x, y) = x\,y\), com \(p_x = 2\), \(p_y = 1\) e \(M = 20\) euros.

a) Encontra o cabaz ótimo.
b) Calcula \(\lambda\) e interpreta-o.
c) Agora \(p_x\) desce para 1. Encontra o novo cabaz.
d) Que parte do orçamento vai para cada bem, e porque é que isso não é por acaso?

✅ Solução

a) Das condições, \(y/x = p_x/p_y = 2\), portanto \(y = 2x\). Na restrição \(2x + 2x = 20\), o que dá \(x^{*} = 5\) e \(y^{*} = 10\).

b) \(\lambda = U_x/p_x = y/p_x = 10/2 = 5\). Mais um euro de rendimento aumentaria a utilidade em cerca de 5 unidades.

c) Agora \(y/x = 1\), portanto \(y = x\), e \(x + x = 20\) dá \(x^{*} = y^{*} = 10\). A quantidade de \(x\) duplicou.

d) \(p_x x^{*} = 10\) e \(p_y y^{*} = 10\): metade do orçamento em cada, das duas vezes. A Cobb-Douglas \(x^{\alpha}y^{1-\alpha}\) gasta sempre as partes constantes \(\alpha\) e \(1-\alpha\). ✅

Parte 3 · A Procura Marshalliana

📉 A Solução é uma Função

Resolve as três condições e a resposta é uma regra:

\[x^{*} = x(p_x, p_y, M), \qquad y^{*} = y(p_x, p_y, M)\]

Procura marshalliana: a quantidade ótima, como função dos preços e do rendimento.

Qualquer pergunta sobre como um consumidor reage a qualquer coisa é uma pergunta sobre as derivadas desta função.

🧮 Cobb-Douglas, Resolvida

Toma \(U = x^{\alpha} y^{1-\alpha}\). As condições dão \(\tfrac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\tfrac{y}{x} = \tfrac{p_x}{p_y}\), portanto \(p_y y = \tfrac{1-\alpha}{\alpha}\,p_x x\).

Substitui em \(p_x x + p_y y = M\): \[x^{*} = \frac{\alpha M}{p_x}, \qquad y^{*} = \frac{(1-\alpha) M}{p_y}\]

Lê o resultado: a despesa em \(x\) é \(p_x x^{*} = \alpha M\), uma parte constante do rendimento. É a assinatura da Cobb-Douglas. 📐

🔎 O que a Função Procura Diz

📉 Preço próprio: \(\tfrac{\partial x^{*}}{\partial p_x} = -\tfrac{\alpha M}{p_x^{2}} < 0\). A procura tem inclinação negativa.

💶 Rendimento: \(\tfrac{\partial x^{*}}{\partial M} = \tfrac{\alpha}{p_x} > 0\), um bem normal. Onde isto é negativo o bem é inferior.

🔀 Preço do outro bem: aqui \(\tfrac{\partial x^{*}}{\partial p_y} = 0\). A Cobb-Douglas é especial; em geral é aqui que vivem os substitutos e os complementos.

E \(x^{*}\) não muda se todos os preços e o rendimento duplicarem: a procura é homogénea de grau zero. Só os preços relativos contam.

📈 Isto é a Curva da Procura

Fixa \(p_y\) e \(M\), faz variar \(p_x\), e desenha os pares \((x^{*}, p_x)\).

A solução do problema que acabámos de resolver, desenhada.

📈 Isto é a Curva da Procura

De onde vem: três preços, três retas orçamentais, três ótimos. 👇

Lê de cima para baixo: cada ótimo de cima dá um ponto ao painel de baixo. Liga-os e tens a curva da procura.

📖 Fonte: OpenStax Micro 3e, §6.2, “The Foundations of Demand Curves”.

➕ Uma Segunda Forma: Quase-Linear

A Cobb-Douglas é uma forma funcional, e muito particular. Aqui está outra:

\[U(x, y) = v(x) + y\]

A utilidade é linear em \(y\) e curva só em \(x\). Lê \(y\) como “tudo o resto”, medido em euros. 💶

Toma \(v(x) = 2\sqrt{x}\), portanto \(U_x = 1/\sqrt{x}\) e \(U_y = 1\).

O declive de uma curva de indiferença é então \(-U_x/U_y = -1/\sqrt{x}\). Depende só de \(x\), e nada de \(y\). 📐

➕ Uma Segunda Forma: Quase-Linear

Confronta esse declive com o rácio de preços, com \(p_y = 1\):

\[\frac{1}{\sqrt{x}} = p_x \qquad \Longrightarrow \qquad x^{*} = \frac{1}{p_x^{2}}\]

Vê o que falta: \(M\) não aparece. 🔎

A procura de \(x\) não reage ao rendimento. Cada euro extra vai para \(y\), e \(y^{*} = M - 1/p_x\) é para onde foi.

Isto só vale enquanto \(M\) for grande o suficiente para pagar \(x^{*}\). Abaixo disso o consumidor está num canto, e as condições de primeira ordem deixam de se verificar com igualdade. ⚠️

➕ Uma Segunda Forma: Quase-Linear

Um consumidor, \(p_x = p_y = 1\), dois rendimentos. Azul: \(M = 2{,}5\). Vermelho: \(M = 0{,}5\). As linhas a tracejado são os orçamentos.

➕ Uma Segunda Forma: Quase-Linear

Qualquer que seja \(M\), a condição de primeira ordem pede \(x^{*} = 1/p_x^{2} = 1\), que custa 1.

A: com \(M = 2{,}5\) isso é acessível. A curva toca a reta orçamental e o resto vai para \(y\), \(y^{*} = 1{,}5\).

B: com \(M = 0{,}5\) não é. Portanto vai tudo para \(x\): \(x^{*} = 0{,}5\), \(y^{*} = 0\). Aí a curva é mais inclinada do que a reta orçamental, \(1/\sqrt{0{,}5} \approx 1{,}41 > 1\), por isso o consumidor ainda abdicaria de \(y\) por mais \(x\)… mas já não sobra \(y\) nenhum.

➕ Uma Segunda Forma: Quase-Linear

Cada curva é a mesma curva deslocada na vertical. Portanto o declive num dado \(x\) é idêntico em todas, e é exatamente por isso que \(M\) desapareceu.

Isto importa na sessão 3: com utilidade quase-linear a área debaixo da curva da procura é o ganho do consumidor em euros. Com Cobb-Douglas é uma aproximação. 🔁

🔎 Duas Formas, Lado a Lado

	Cobb-Douglas \(x^{\alpha}y^{1-\alpha}\)	Quase-linear \(2\sqrt{x} + y\)
\(x^{*}\)	\(\alpha M / p_x\)	\(1/p_x^{2}\)
Reage ao rendimento	um para um na despesa	nada
Parte do rendimento em \(x\)	fixa em \(\alpha\)	desce quando \(M\) sobe
Efeito de \(p_y\)	nenhum	nenhum

Nenhuma das duas é “o” consumidor. Cada uma é uma aposta sobre a forma, e a aposta decide as respostas antes de chegarem quaisquer dados. A sessão 3 volta a este ponto, com elasticidades. 🔁

❓ Escolha Múltipla 5

Todos os preços e o rendimento duplicam. O cabaz ótimo do consumidor:

A. Duplica, porque o rendimento duplicou.

B. Cai para metade, porque está tudo mais caro.

C. Não muda: a procura é homogénea de grau zero.

D. Não pode ser determinado sem conhecer \(U\).

✅ C. A restrição orçamental não muda quando os dois lados são multiplicados pelo mesmo fator, e o rácio de preços também não. Só contam os preços relativos e o rendimento real, e é por isso que a ilusão monetária é um erro e não uma preferência.

❓ Escolha Múltipla 6

Para \(U = x^{\alpha}y^{1-\alpha}\), o rendimento sobe 10% com os preços fixos. A despesa em \(x\):

A. Sobe menos de 10%, porque parte vai para \(y\).

B. Sobe exatamente 10%.

C. Não muda.

D. Depende de \(p_x\) e \(p_y\).

✅ B. A despesa em \(x\) é \(\alpha M\), por isso acompanha o rendimento um para um. A parte \(\alpha\) fica fixa, e é isso que torna a Cobb-Douglas conveniente e restritiva ao mesmo tempo.

🧮 Pergunta Numérica

\(U(x,y) = x^{0{,}25} y^{0{,}75}\), com rendimento \(M\) e preços \(p_x\), \(p_y\).

a) Deriva as procuras marshallianas \(x^{*}\) e \(y^{*}\).
b) Que parte do rendimento vai para cada bem?
c) \(x\) é normal ou inferior? Mostra-o.
d) Com \(M = 100\), \(p_x = 5\), \(p_y = 3\), calcula o cabaz.

✅ Solução

a) \(x^{*} = \tfrac{0{,}25\,M}{p_x}\) e \(y^{*} = \tfrac{0{,}75\,M}{p_y}\), a regra da Cobb-Douglas com \(\alpha = 0{,}25\).

b) \(p_x x^{*} = 0{,}25M\) e \(p_y y^{*} = 0{,}75M\): um quarto e três quartos, quaisquer que sejam os preços.

c) \(\partial x^{*}/\partial M = 0{,}25/p_x > 0\), portanto \(x\) é normal. A Cobb-Douglas não consegue produzir um bem inferior.

d) \(x^{*} = 25/5 = 5\) e \(y^{*} = 75/3 = 25\). Verificação: \(5(5) + 3(25) = 100\). ✅

Síntese

🎯 O que Levar desta Sessão

📜 A utilidade é uma maneira de escrever uma ordenação de preferências. Qualquer transformação crescente dela é o mesmo consumidor.

🧮 O problema é \(\max U\) sujeito a uma restrição linear. O Lagrangiano resolve-o, e as condições de primeira ordem dizem que a utilidade marginal por euro é igual em todo o lado.

💡 \(\lambda\) é a utilidade marginal do rendimento, um preço-sombra. Volta para a empresa e para o Estado.

📉 A solução é uma função, a procura marshalliana \(x(p_x, p_y, M)\). A curva da procura é essa função desenhada.

⚠️ Cantos e quebras estragam as condições de primeira ordem. Substitutos perfeitos e complementos perfeitos são os dois que vais encontrar.

➕ Cobb-Douglas e quase-linear respondem ao mesmo problema de maneiras diferentes. A forma funcional é uma hipótese, não um resultado.

👋 Próxima Sessão

Procura e Elasticidade.

De um consumidor para um mercado, e depois a pergunta que decide a receita: quão fortemente reage a quantidade ao preço? 📊