Acabamos com uma função procura na mão. A próxima sessão transforma-a num mercado. 🔧

A completude exclui o “não sei dizer”. Põe quaisquer dois cabazes à frente do consumidor e há uma resposta.

A transitividade exclui ciclos. Supõe que \(a \succ b\), \(b \succ c\), e \(c \succ a\). 🔁

Então vendo-te \(a\) pelo teu \(c\) mais um cêntimo, depois \(b\) pelo teu \(a\) mais um cêntimo, depois \(c\) pelo teu \(b\) mais um cêntimo. Ficas com o que tinhas no início, três cêntimos mais leve, e eu posso repetir. 💸

Um consumidor com preferências intransitivas é uma máquina de me tornar rico. Por isso assumimos que não existe.

Monótonas diz que mais é melhor. Falha para um mal: ninguém quer mais barulho, mais poluição, mais risco. 🔊

Falha também na saciedade. O décimo quinto café pode valer menos do que nada. ☕

Convexas diz que as médias são pelo menos tão boas como os extremos. Meio café e meio bolo é melhor do que dois cafés ou dois bolos, para a maioria das pessoas.

Falha quando dois bens não se misturam. Meia dose de arroz com meia dose de cereais de pequeno-almoço é pior do que uma dose inteira de qualquer um deles. 🍚

É uma representação, nada mais: \(U(a) \ge U(b)\) quer dizer exatamente \(a \succsim b\).

Escrevemos sempre \(U_x \equiv \partial U/\partial x\). A monotonia é \(U_x > 0\) e \(U_y > 0\); a utilidade marginal decrescente é \(U_{xx} < 0\) e \(U_{yy} < 0\): o décimo café vale menos do que o primeiro. ☕

Cuidado com estas duas: \(U_{xx} < 0\) é uma propriedade da função, enquanto a convexidade das preferências é uma propriedade dos seus conjuntos de nível: o conjunto dos cabazes pelo menos tão bons como um dado cabaz é convexo. Só a segunda é uma afirmação sobre preferências, pela razão do próximo slide. ⚠️

Os números são diferentes. A ordenação é idêntica, e os dois primeiros cabazes continuam empatados.

E o rácio sobrevive: \(V_x/V_y = (1/x)/(1/y) = y/x\), que é o que \(U\) dá. Tudo o que vamos fazer a seguir assenta nesse rácio. 🔁

As curvas mais afastadas são melhores, porque mais é melhor. Nunca se cruzam: um cabaz não pode estar em duas ordenações diferentes. E \(V = \ln x + \ln y\) desenha estas mesmas curvas, com números diferentes. 🔁

\[U_x\,dx + U_y\,dy = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{dy}{dx} = -\frac{U_x}{U_y}\]

Portanto o rácio \(U_x/U_y\) é o declive da curva que acabaste de desenhar, a menos do sinal. 📐

Responde a uma pergunta: de quanto \(y\) abdica este consumidor por mais um \(x\), ficando exatamente tão bem como estava?

Guarda essa pergunta. Na Parte 2 é o mercado que responde à mesma, com \(p_x/p_y\). 🔁

🔀 Substitutos perfeitos: \(U = ax + by\). Aqui \(U_x/U_y = a/b\) em qualquer cabaz, por isso o consumidor abdica de \(y\) por \(x\) à mesma taxa de troca, tenha o que tiver.

🔗 Complementos perfeitos: \(U = \min\{ax, by\}\). Os bens usam-se em proporções fixas, e mais \(x\) sem mais \(y\) não acrescenta nada. No vértice de cada curva, \(U_x/U_y\) não existe.

Voltamos aos dois na Parte 2, quando já houver preços. ⚠️

Ângulos retos à direita: a partir do vértice, só mais \(x\) ou só mais \(y\) deixa o consumidor na mesma curva. No vértice não há declive nenhum. 📐

✅ A. \(V = \ln U\) é uma transformação estritamente crescente, por isso ordena todos os pares de cabazes da mesma maneira e representa as mesmas preferências. Confirma o rácio: \(V_x/V_y = (1/x)/(1/y) = y/x\), exatamente o que \(U\) dá.

\[ p_x\, x + p_y\, y \le M \]

A fronteira é a restrição orçamental, uma reta de declive \(-p_x/p_y\): a taxa a que o mercado te deixa trocar \(x\) por \(y\). 📉

Essa taxa é um custo de oportunidade, no sentido da sessão 1: mais um \(x\) custa \(p_x/p_y\) unidades de \(y\). A \(TMT\) dizia de que abdica a economia; \(p_x/p_y\) diz de que abdica o consumidor. 🔁

Com preferências monótonas o consumidor nunca para dentro do conjunto, por isso a restrição verifica-se com igualdade. É isso que nos deixa usar um Lagrangiano.

Entre eles o consumidor consegue fazer melhor, e o melhor que consegue é o ponto de contacto. 🎯

Nesse ponto os dois declives coincidem: \[-\frac{U_x}{U_y} = -\frac{p_x}{p_y}\]

A taxa a que o consumidor está disposto a trocar é igual à taxa a que o mercado troca. Que é a equação que vamos tirar do Lagrangiano. 🔁

Condições de primeira ordem: \[U_x = \lambda p_x, \qquad U_y = \lambda p_y, \qquad p_x x + p_y y = M\]

Três equações, três incógnitas \((x, y, \lambda)\). Resolvê-las é o problema todo.

\[\mathcal{L}_x = y - 10\lambda = 0, \qquad \mathcal{L}_y = x - 5\lambda = 0, \qquad 100 - 10x - 5y = 0\]

Das duas primeiras, \(y = 10\lambda\) e \(x = 5\lambda\). Põe na terceira: \(100 = 50\lambda + 50\lambda\), portanto \(\lambda = 1\).

Então \(x^{*} = 5\) e \(y^{*} = 10\), que custam \(10(5) + 5(10) = 100\). ✅

Que é o cabaz para onde a figura de há dois slides apontava. 🎯

\(U_x/p_x = 1/10\) e \(U_y/p_y = 1/5\), em qualquer cabaz. Passar um euro de \(x\) para \(y\) dá sempre ganho.

Os dois rácios nunca se encontram, por isso o consumidor continua a mudar euros até não sobrar \(x\) nenhum: o canto \(x^{*} = 0\), \(y^{*} = 20\). Aí as condições de primeira ordem não se verificam com igualdade.

Para \(U = \min\{x, y\}\), \(U_x/U_y\) não existe no vértice, por isso não há nada para igualar a \(p_x/p_y\). O ótimo vem do próprio vértice, \(x = y\), e do orçamento: \(15x = 100\), portanto \(x^{*} = y^{*} = 20/3\).

Atenção aos dois nas fichas de exercícios. ⚠️

Portanto a utilidade atingida no ótimo também é uma função dos preços e do rendimento: \[U^{*}(p_x, p_y, M) = U\big(x^{*}(p_x, p_y, M),\; y^{*}(p_x, p_y, M)\big)\]

Utilidade indireta: a utilidade do melhor cabaz acessível, como função dos preços e do rendimento.

Em termos de otimização, \(U^{*}\) é a função valor do problema do consumidor: o objetivo maximizado, como função dos parâmetros \((p_x, p_y, M)\).

Com \(U = xy\), \(p_x = 10\), \(p_y = 5\) e \(M = 100\) encontrámos \(x^{*} = 5\) e \(y^{*} = 10\), portanto \(U^{*} = 50\). A Parte 3 olha para o próprio \(x^{*}(\cdot)\); para \(\lambda\) só precisamos de \(U^{*}\).

Pelo teorema do envelope, a derivada de \(U^{*}\) em ordem a \(M\) é a derivada de \(\mathcal{L}\) só em ordem ao \(M\) explícito, no ótimo: \[\frac{\partial U^{*}}{\partial M} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial M} = \lambda > 0\]

\(\lambda\) é a utilidade marginal do rendimento: o que mais um euro de orçamento vale para este consumidor. Um preço-sombra.

Guarda-o. A mesma leitura volta para a empresa na sessão 4, e para o orçamento do Estado na sessão 12. 🔁

Sobe o rendimento para \(M = 101\) e refaz: \(x^{*} = 5{,}05\), \(y^{*} = 10{,}1\), portanto \(U^{*} = 51{,}005\).

O euro extra comprou 1,005 unidades de utilidade, contra um \(\lambda = 1\) previsto. A diferença é o termo de segunda ordem: \(\lambda\) é uma derivada, por isso só é exato no limite. 📐

Agora, em vez disso, sobe \(p_x\) para 20, com \(M = 100\). Então \(x^{*} = 2{,}5\), \(y^{*} = 10\), e \(\lambda = U_x/p_x = 10/20 = 0{,}5\).

O mesmo euro de rendimento vale metade, porque o cabaz que compra é pior. É isso que faz de \(\lambda\) um preço. 💶

✅ C. Um euro gasto em \(x\) compra mais utilidade do que um euro gasto em \(y\), por isso mudar a despesa dá ganho. Só quando os dois são iguais é que não sobra nada para ganhar.

✅ D. Os complementos perfeitos têm uma quebra, por isso \(U\) não é diferenciável aí e a solução fica na quebra e não onde as derivadas se equilibram. As outras três são suaves.

a) Das condições, \(y/x = p_x/p_y = 2\), portanto \(y = 2x\). Na restrição \(2x + 2x = 20\), o que dá \(x^{*} = 5\) e \(y^{*} = 10\).

b) \(\lambda = U_x/p_x = y/p_x = 10/2 = 5\). Mais um euro de rendimento aumentaria a utilidade em cerca de 5 unidades.

c) Agora \(y/x = 1\), portanto \(y = x\), e \(x + x = 20\) dá \(x^{*} = y^{*} = 10\). A quantidade de \(x\) duplicou.

d) \(p_x x^{*} = 10\) e \(p_y y^{*} = 10\): metade do orçamento em cada, das duas vezes. A Cobb-Douglas \(x^{\alpha}y^{1-\alpha}\) gasta sempre as partes constantes \(\alpha\) e \(1-\alpha\). ✅

Substitui em \(p_x x + p_y y = M\): \[x^{*} = \frac{\alpha M}{p_x}, \qquad y^{*} = \frac{(1-\alpha) M}{p_y}\]

Lê o resultado: a despesa em \(x\) é \(p_x x^{*} = \alpha M\), uma parte constante do rendimento. É a assinatura da Cobb-Douglas. 📐

📉 Preço próprio: \(\tfrac{\partial x^{*}}{\partial p_x} = -\tfrac{\alpha M}{p_x^{2}} < 0\). A procura tem inclinação negativa.

💶 Rendimento: \(\tfrac{\partial x^{*}}{\partial M} = \tfrac{\alpha}{p_x} > 0\), um bem normal. Onde isto é negativo o bem é inferior.

🔀 Preço do outro bem: aqui \(\tfrac{\partial x^{*}}{\partial p_y} = 0\). A Cobb-Douglas é especial; em geral é aqui que vivem os substitutos e os complementos.

E \(x^{*}\) não muda se todos os preços e o rendimento duplicarem: a procura é homogénea de grau zero. Só os preços relativos contam.

Nenhuma das duas é “o” consumidor. Cada uma é uma aposta sobre a forma, e a aposta decide as respostas antes de chegarem quaisquer dados. A sessão 3 volta a este ponto, com elasticidades. 🔁

✅ C. A restrição orçamental não muda quando os dois lados são multiplicados pelo mesmo fator, e o rácio de preços também não. Só contam os preços relativos e o rendimento real, e é por isso que a ilusão monetária é um erro e não uma preferência.

✅ B. A despesa em \(x\) é \(\alpha M\), por isso acompanha o rendimento um para um. A parte \(\alpha\) fica fixa, e é isso que torna a Cobb-Douglas conveniente e restritiva ao mesmo tempo.

a) \(x^{*} = \tfrac{0{,}25\,M}{p_x}\) e \(y^{*} = \tfrac{0{,}75\,M}{p_y}\), a regra da Cobb-Douglas com \(\alpha = 0{,}25\).

b) \(p_x x^{*} = 0{,}25M\) e \(p_y y^{*} = 0{,}75M\): um quarto e três quartos, quaisquer que sejam os preços.

c) \(\partial x^{*}/\partial M = 0{,}25/p_x > 0\), portanto \(x\) é normal. A Cobb-Douglas não consegue produzir um bem inferior.

d) \(x^{*} = 25/5 = 5\) e \(y^{*} = 75/3 = 25\). Verificação: \(5(5) + 3(25) = 100\). ✅

📜 A utilidade é uma maneira de escrever uma ordenação de preferências. Qualquer transformação crescente dela é o mesmo consumidor.

🧮 O problema é \(\max U\) sujeito a uma restrição linear. O Lagrangiano resolve-o, e as condições de primeira ordem dizem que a utilidade marginal por euro é igual em todo o lado.

💡 \(\lambda\) é a utilidade marginal do rendimento, um preço-sombra. Volta para a empresa e para o Estado.

📉 A solução é uma função, a procura marshalliana \(x(p_x, p_y, M)\). A curva da procura é essa função desenhada.

⚠️ Cantos e quebras estragam as condições de primeira ordem. Substitutos perfeitos e complementos perfeitos são os dois que vais encontrar.

➕ Cobb-Douglas e quase-linear respondem ao mesmo problema de maneiras diferentes. A forma funcional é uma hipótese, não um resultado.