Princípios de Economia e Gestão I
Sessão 3 · Procura e Elasticidade
Introdução
🔁 De Onde Vimos
A sessão 2 acabou com uma função na mão: a procura marshalliana \(x^{*}(p_x, p_y, M)\), tirada do problema de um consumidor.
Um consumidor não é um mercado. Hoje somamo-los, e depois medimos quão fortemente o total reage. 📐
A elasticidade é essa medida. Para quem vem da matemática, é uma derivada normalizada.
🇵🇹 Tradução para português dos slides em inglês. A versão de referência é a inglesa.
🗺️ O Mapa de Hoje
- ➕ Da procura de um consumidor à procura de mercado
- 💎 Valor, preços de reserva e excedente do consumidor
- 📐 Elasticidade-preço: a definição pontual e os três regimes
- 📈 Casos extremos da elasticidade
- 💰 Elasticidade e receita, e a ligação à receita marginal
- 👛 Elasticidade-rendimento e elasticidade-preço cruzada, e as três em logaritmos
Acabamos com a ferramenta de que a sessão 4 precisa para falar de poder de mercado. 🔧
Parte 1 · Do Indivíduo ao Mercado
👤 A Procura de um Consumidor
Fixa \(p_y\) e \(M\), deixa \(p_x\) variar, e a solução da sessão passada desenha uma curva.
Para a Cobb-Douglas, \(x^{*} = \dfrac{\alpha M}{p_x}\), portanto \(\dfrac{\partial x^{*}}{\partial p_x} < 0\). Inclinação negativa, e derivada, não assumida.
Os economistas desenham-na com \(p_x\) no eixo vertical, que é a função inversa. Um acidente histórico com que simplesmente tens de viver. 🙃
➕ De um Consumidor ao Mercado
A cada preço, pergunta a cada consumidor quanto quer e soma as quantidades.
\[Q(p) = \sum_{i=1}^{n} x_i^{*}(p, \cdot)\]
É uma soma de quantidades a um dado preço, por isso num gráfico somas na horizontal, não na vertical.
Cada procura individual tem inclinação negativa, por isso a soma também tem. A procura de mercado herda a propriedade do problema do consumidor.
💎 Primeiro o Valor, Depois o Preço
Agora um segundo caminho para a mesma curva, um que torna o excedente visível. A Ana está a pensar em comprar um bilhete para um concerto.
Valor \(v\): quanto o bilhete vale para a Ana, medido em euros. É uma propriedade da Ana e do bem, não do mercado.
O valor da Ana é um número. Não mexe quando o preço mexe. O que o preço decide é só se comprar vale a pena.
🎟️ O Preço de Reserva do Comprador
A Ana compra quando o seu excedente não é negativo:
\[\text{excedente} = v - p \;\ge\; 0\]
Portanto compra para qualquer \(p \le v\), e o preço mais alto a que ainda compra é exatamente \(v\).
Preço de reserva de um comprador: o preço mais alto a que ainda está disposto a comprar. É igual ao seu valor \(v\).
O valor é o que o bem te dá. O preço é o que o mercado pede. O preço de reserva é onde os dois se encontram. ⚖️
👥 Quatro Compradores, Quatro Valores
A Ana dá-lhe um valor de 8 euros, o Bruno 6, a Carla 4, o Diogo 2.
A um preço de 5, compra quem lhe dá um valor acima de 5: a Ana e o Bruno. Baixa o preço e entra a Carla, depois o Diogo.
📉 A Curva da Procura Aparece
Ordena os preços de reserva do mais alto para o mais baixo e acabaste de desenhar outra vez a curva da procura, pelo outro lado.
Cada degrau para baixo é mais um comprador a entrar. Com muitos compradores os degraus encolhem e a escada torna-se uma reta com inclinação negativa.
A procura é, no fundo, a lista ordenada das disposições a pagar. Nada mais misterioso do que isso. 📋
📖 Fonte: OpenStax Micro 3e, §3.1, “Demand for Goods and Services”. O livro constrói a curva a partir de uma tabela para a gasolina.
🔍 Duas Maneiras de Ler a Mesma Curva
Toma \(P = 10 - Q\).
Na horizontal, a um dado preço: quanto se compra? \(Q = 10 - P\). É a quantidade procurada.
Na vertical, a uma dada quantidade: qual é o valor da última unidade vendida? \(P = 10 - Q\). É a disposição marginal a pagar.
A leitura vertical é a que nos dá o excedente, e daqui a pouco a elasticidade. Guarda-a. 🔑
💙 Excedente do Consumidor
Excedente do consumidor (EC): o que os compradores valorizam acima do que pagam, somado sobre todos os compradores que trocam.
Para um comprador, \(v - p\). Para o mercado, a área abaixo da curva da procura e acima do preço.
A Ana, que lhe dava um valor de 8, paga 5 e sai 3 euros melhor. O Diogo, que lhe dava 2, não troca e não ganha nada. 🎟️
📖 Fonte: OpenStax Micro 3e, §3.5, “Consumer Surplus, Producer Surplus, Social Surplus”.
🧮 O Excedente do Consumidor é um Integral
A leitura vertical dá o valor da última unidade, \(P(q)\). Soma o valor sobre as unidades, subtrai o que foi pago:
\[\text{EC} = \int_{0}^{Q} P(q)\,dq \;-\; p\,Q\]
Com \(P = 10 - q\) e \(p = 5\), portanto \(Q = 5\): \(\int_0^5 (10 - q)\,dq - 25 = 37{,}5 - 25 = 12{,}5\). O triângulo, sem a geometria. ✅
Não leias demasiado no número. Somar euros entre pessoas é uma escolha que estamos a fazer aqui, e a sessão 2 já te avisou que a própria utilidade não é comparável. ⚠️
❓ Escolha Múltipla 1
O preço de reserva de um comprador:
A. Desce sempre que o preço de mercado desce.
B. É o preço que o comprador mais gostaria de pagar.
C. É igual ao valor do bem para esse comprador.
D. É o mesmo para todos os compradores do mercado.
✅ C. O valor é um número e não mexe com o preço. O preço de reserva é esse valor lido como preço: o preço mais alto a que comprar ainda vale a pena. O que o comprador gostaria de pagar é zero.
❓ Escolha Múltipla 2
A procura de mercado obtém-se a partir das procuras individuais:
A. Somando as quantidades a cada preço.
B. Somando os preços a cada quantidade.
C. Fazendo a média das curvas de procura individuais.
D. Tomando a procura do consumidor com o rendimento mais alto.
✅ A. A um preço, cada consumidor diz uma quantidade, e a quantidade de mercado é a soma. É por isso que a agregação é horizontal. Somar preços na vertical é uma operação completamente diferente, e pertence aos bens públicos.
🧮 Pergunta Numérica
Dois consumidores. A Ana procura \(q_A = 12 - 2p\) e o Bruno \(q_B = 8 - p\), cada um onde isso for positivo e zero no resto.
a) Encontra o preço de saída de cada consumidor, o preço a que deixa de comprar.
b) Escreve a procura de mercado como função de \(p\) por ramos, com os respetivos intervalos.
c) Onde está a quebra, e porque é que a curva é mais inclinada acima dela?
d) Com \(p = 3\), calcula o excedente do consumidor da Ana, e depois o total.
✅ Solução
a) Iguala cada uma a zero: \(12 - 2p = 0 \Rightarrow p_A = 6\), e \(8 - p = 0 \Rightarrow p_B = 8\). Estes são os únicos preços onde quem está no mercado muda, por isso é aí que a função por ramos parte.
b) Soma horizontal sobre quem ainda está a comprar: \[Q(p) = \begin{cases} 20 - 3p, & 0 \le p \le 6 \quad \text{(os dois)} \\ 8 - p, & 6 < p \le 8 \quad \text{(só o Bruno)} \\ 0, & p > 8 \end{cases}\]
c) Em \(p = 6\), onde a Ana sai. Abaixo disso, uma subida de um euro custa ao mercado 3 unidades; acima, só 1, porque a Ana já lá não está para perder nenhuma. Com o preço no eixo vertical, perder um comprador torna a curva mais inclinada. 📐
d) Os preços de saída da alínea a) são as alturas dos triângulos. A Ana compra \(12 - 6 = 6\), portanto \(\text{EC}_A = \tfrac{1}{2}\times 6 \times (6 - 3) = 9\) euros.
O Bruno compra \(8 - 3 = 5\): \(\text{EC}_B = \tfrac{1}{2}\times 5 \times (8 - 3) = 12{,}5\). Total \(= 21{,}5\) euros. ✅
Parte 2 · Elasticidade-Preço
📐 A Definição Pontual
Elasticidade-preço da procura: a variação percentual da quantidade sobre a variação percentual do preço.
\[ \varepsilon = \frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q} \]
É a derivada \(dQ/dP\) normalizada por \(P/Q\), para não depender das unidades. O sinal é negativo; trabalhamos com \(|\varepsilon|\).
De forma equivalente \(\varepsilon = d\ln Q / d\ln P\). É por essa forma que as elasticidades se estimam em logaritmos. 📊
🎚️ Os Três Regimes
\(|\varepsilon| > 1\): elástica. A quantidade reage mais do que proporcionalmente.
\(|\varepsilon| < 1\): inelástica. A quantidade reage menos do que proporcionalmente.
\(|\varepsilon| = 1\): elasticidade unitária.
🧊 Os Casos Extremos
📏 Perfeitamente inelástica (\(\varepsilon = 0\)): a quantidade é fixa, a curva é vertical. Exemplo: um medicamento que salva vidas.
➖ Perfeitamente elástica (\(|\varepsilon| \to \infty\)): a qualquer preço acima de um certo valor, a procura desaparece. A curva é horizontal.
É exatamente o que uma empresa enfrenta em concorrência perfeita, e é por isso que essa empresa é tomadora de preço na sessão 4. 🔁
📖 Fonte: OpenStax Micro 3e, §5.2 “Polar Cases of Elasticity and Constant Elasticity”.
📉 Ao Longo de uma Procura Linear, a Elasticidade Varia
Toma \(Q = a - bP\). Então \(dQ/dP = -b\) e
\[ \varepsilon = -b\cdot\frac{P}{Q} = -b\cdot\frac{P}{a - bP}. \]
No topo da curva (P alto) é elástica; em baixo (P baixo) é inelástica; a meio tem elasticidade unitária.
Portanto “este bem é elástico” é uma afirmação sobre um ponto, não sobre uma curva. O declive é constante, a elasticidade varia ao longo dela. ⚠️
📊 Ver a Variação
📏 Ponto ou Arco?
Entre dois pontos observados, a variação percentual depende de qual usas como partida. A fórmula do ponto médio (arco) evita isso:
\[\varepsilon_{arco} = \frac{\Delta Q}{(Q_1 + Q_2)/2} \Big/ \frac{\Delta P}{(P_1 + P_2)/2}\]
É uma aproximação discreta do mesmo objeto. Usamos sempre a definição pontual, porque já sabes cálculo e a fórmula do arco é só o que se faz quando se tem apenas duas linhas de dados. 📐
📖 A OpenStax Micro 3e, §5.1 trabalha com a fórmula do ponto médio, e é por isso que os seus números diferem dos nossos. Também apresenta elasticidades estimadas para bens reais.
🔬 O que Torna a Procura Elástica
🔀 Substitutos. Quantos mais, mais elástica. É o fator dominante.
👛 Peso no orçamento. O sal é inelástico em parte porque ninguém repara no preço.
⏳ Tempo. Com um ano, as pessoas mudam de sistema de aquecimento; com um dia, não. As elasticidades de longo prazo são sempre maiores.
🎯 Como se define o mercado. A procura de “café” é inelástica; a de “café desta marca”, muito elástica. Quanto mais estreita a definição, mais elástica.
❓ Escolha Múltipla 3
Ao longo de uma procura linear \(Q = a - bP\), a elasticidade em valor absoluto:
A. É constante ao longo da curva, e igual a \(b\).
B. Sobe à medida que o preço desce.
C. Não está definida exceto no ponto médio.
D. Desce à medida que o preço desce.
✅ D. \(|\varepsilon| = bP/(a - bP)\) é crescente em \(P\), por isso os preços mais baixos ficam na região inelástica. A opção A confunde o declive, que é constante, com a elasticidade, que não é.
❓ Escolha Múltipla 4
A procura é \(Q = A P^{-2}\). Uma subida de 1 por cento no preço faz variar a quantidade em cerca de:
A. 2 por cento para cima.
B. 2 por cento para baixo.
C. 0,5 por cento para baixo.
D. Depende do preço de partida.
✅ B. \(\varepsilon = \dfrac{dQ}{dP}\dfrac{P}{Q} = -2AP^{-3}\cdot\dfrac{P}{AP^{-2}} = -2\) em todos os preços, portanto a quantidade cai cerca do dobro da subida percentual do preço, a partir de qualquer ponto. A opção D estaria certa para uma procura linear e aqui está errada. Uma procura com a mesma elasticidade em todos os preços tem um nome, que a Parte 3 lhe dá.
🧮 Pergunta Numérica
Procura \(Q = 100 - 4P\), com \(P\) em euros.
a) Encontra \(Q\) em \(P = 10\), e a elasticidade nesse ponto.
b) Diz se a procura é elástica ou inelástica nesse ponto.
c) A que preço tem a procura elasticidade unitária?
d) A que preço está o ponto de saída, onde a quantidade chega a zero?
✅ Solução
a) \(Q = 100 - 40 = 60\), e \(\varepsilon = \dfrac{dQ}{dP}\dfrac{P}{Q} = -4 \times \dfrac{10}{60} \approx -0{,}67\).
b) \(|\varepsilon| = 0{,}67 < 1\): inelástica nesse ponto.
c) \(|\varepsilon| = 1\) exige \(4P = 100 - 4P\), portanto \(P = 12{,}5\) euros e \(Q = 50\). Repara que é o ponto médio de uma procura linear, sempre.
d) \(Q = 0\) em \(P = 25\) euros, onde \(|\varepsilon| \to \infty\). Na outra ponta, \(P = 0\), a elasticidade é zero. A gama toda é percorrida ao longo de uma só reta. ✅
Parte 3 · Receita, e as Outras Elasticidades
💰 Elasticidade e Receita
A receita é \(R = P\cdot Q\). Derivando em ordem ao preço,
\[ \frac{dR}{dP} = Q + P\frac{dQ}{dP} = Q\,(1 + \varepsilon). \]
Se \(|\varepsilon| < 1\): subir o preço aumenta a receita. Se \(|\varepsilon| > 1\): reduz. A receita é máxima quando \(|\varepsilon| = 1\).
Isto diz a uma empresa para que lado mexer no preço. 💶
📖 Fonte: OpenStax Micro 3e, §5.3, “Does Raising Price Bring in More Revenue?”
📈 A Ligação à Receita Marginal
Agora deriva em ordem à quantidade:
\[ RMg = \frac{dR}{dQ} = P + Q\frac{dP}{dQ} = P\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right). \]
Duas leituras. Vender mais uma unidade traz o preço, menos aquilo de que abdicaste ao baixar o preço de tudo o resto.
E \(RMg < P\) sempre que a procura tem inclinação negativa. Lembra-te desta fórmula: é o centro do poder de mercado na próxima sessão. 🔁
👛 Elasticidade-Rendimento
Como muda a quantidade quando o rendimento \(M\) muda?
\[ \varepsilon_M = \frac{dQ}{dM}\cdot\frac{M}{Q}. \]
\(\varepsilon_M > 0\): um bem normal. \(\varepsilon_M < 0\): um bem inferior. \(\varepsilon_M > 1\): um bem de luxo. 💎
📖 Fonte: OpenStax Micro 3e, §5.4, “Income Elasticity of Demand”.
🔀 Elasticidade-Preço Cruzada
Como muda a quantidade de um bem quando o preço de outro bem \(Y\) muda?
\[ \varepsilon_{XY} = \frac{dQ_X}{dP_Y}\cdot\frac{P_Y}{Q_X}. \]
\(\varepsilon_{XY} > 0\): substitutos (chá e café). \(\varepsilon_{XY} < 0\): complementos (um carro e combustível). ⛽
📖 Fonte: OpenStax Micro 3e, §5.4, “Cross-Price Elasticity of Demand”.
📈 Procura com Elasticidade Constante
A Escolha Múltipla 4 deu-te uma forma: \(Q = A\,P^{-\eta}\) tem \(\varepsilon = \dfrac{dQ}{dP}\dfrac{P}{Q} = -\eta\) em todos os preços.
Dá o mesmo tratamento ao rendimento e ao preço do outro bem, e escreve os expoentes como as próprias elasticidades: \[Q = A\,P^{\varepsilon}\,M^{\varepsilon_M}\,P_Y^{\varepsilon_{XY}}\]
Aplica logaritmos: \(\ln Q = \ln A + \varepsilon \ln P + \varepsilon_M \ln M + \varepsilon_{XY} \ln P_Y\). Cada elasticidade é o declive de uma regressão log-log, e é constante.
Que é exatamente como as elasticidades se estimam na prática, e é por isso que vais ver modelos de procura escritos em logaritmos. 📊
🔗 As Três, de Volta ao Problema do Consumidor
A sessão 2 resolveu a Cobb-Douglas: \(x^{*} = \dfrac{\alpha M}{p_x}\). Lê as três elasticidades diretamente daí.
\(\varepsilon = -1\), elasticidade exatamente unitária em todo o lado. \(\varepsilon_M = 1\), portanto normal e nunca de luxo. \(\varepsilon_{XY} = 0\), portanto nem substituto nem complemento.
São três restrições que a forma funcional impõe: é a forma log-log com os expoentes fixados em \(-1\), \(1\) e \(0\). A Cobb-Douglas é conveniente e estreita, e um sistema de procura estimado com dados reais rejeita as três.
Uma forma funcional decide as tuas respostas antes de veres os dados. ⚠️
A forma log-log liberta os três expoentes. Fazer o mesmo à função de utilidade é o passo seguinte. 👇
🔧 O que se Usa na Prática
A solução tem sempre a mesma forma: acrescentar parâmetros até as elasticidades serem coisas que estimas e não coisas que a álgebra te deu.
🪜 CES, o passo seguinte barato. Um parâmetro extra, a elasticidade de substituição \(\sigma\). A Cobb-Douglas é exatamente o caso \(\sigma = 1\). Continua a ser um número para cada par de bens, mas já não é obrigado a ser um.
📊 Análise de Sensibilidade
Para quem vai para finanças, a elasticidade é análise de sensibilidade com outro nome.
Quanto muda a procura do produto da empresa se um concorrente baixar o preço 5 por cento? Isso é a elasticidade-preço cruzada.
Quanto cai a procura numa recessão? Isso é a elasticidade-rendimento. As mesmas fórmulas, aplicadas a modelos de receita. 💼
❓ Escolha Múltipla 5
Uma empresa vende atualmente onde a procura é inelástica. Para aumentar a receita deve:
A. Baixar o preço, porque a quantidade vai reagir fortemente.
B. Subir o preço, porque a quantidade cai menos do que proporcionalmente.
C. Deixar o preço como está, porque a receita já está no máximo.
D. Baixar o preço, porque a receita sobe sempre quando o preço desce.
✅ B. Com \(|\varepsilon| < 1\) temos \(dR/dP = Q(1 + \varepsilon) > 0\). A receita continua a subir com o preço até ao ponto de elasticidade unitária, onde \(dR/dP = 0\).
❓ Escolha Múltipla 6
A elasticidade-preço cruzada entre dois bens é negativa. Os bens são:
A. Complementos.
B. Substitutos.
C. Independentes um do outro.
D. Ambos bens inferiores.
✅ A. O preço de um sobe e a procura do outro cai, por isso são consumidos em conjunto: complementos. Repara que é a elasticidade-rendimento, e não a elasticidade-preço cruzada, que classifica um bem como inferior.
🧮 Pergunta Numérica
A procura de um produto foi estimada como \(\ln Q = 6 - 1{,}5 \ln P + 0{,}8 \ln M + 0{,}4 \ln P_Y\).
a) Indica as três elasticidades.
b) O bem é normal, inferior ou de luxo?
c) \(Y\) é um substituto ou um complemento?
d) A empresa sobe o preço 4 por cento. O que acontece à receita, aproximadamente?
✅ Solução
a) Numa forma log-log os coeficientes são as elasticidades: \(\varepsilon = -1{,}5\), \(\varepsilon_M = 0{,}8\), \(\varepsilon_{XY} = 0{,}4\).
b) \(0 < \varepsilon_M < 1\): normal, mas não de luxo. A procura cresce com o rendimento, mais devagar do que o rendimento.
c) \(\varepsilon_{XY} > 0\): um substituto. Y ficar mais caro manda compradores para este lado.
d) \(|\varepsilon| = 1{,}5 > 1\), portanto a receita cai. A quantidade desce cerca de \(1{,}5 \times 4 = 6\) por cento contra uma subida de preço de 4 por cento, para uma variação líquida perto de \(-2\) por cento. ✅
Síntese
🎯 O que Levar desta Sessão
➕ A procura de mercado são as procuras individuais somadas na horizontal. Tem inclinação negativa porque a de cada consumidor tem.
💙 O excedente do consumidor é o valor acima do preço: a área abaixo da procura e acima do preço, ou um integral se preferires.
📐 A elasticidade é uma derivada normalizada, \(d\ln Q/d\ln P\). Ao longo de uma procura linear vai de elástica no topo a inelástica em baixo.
💰 \(dR/dP = Q(1 + \varepsilon)\) diz a uma empresa para que lado mexer no preço, e \(RMg = P(1 + 1/\varepsilon)\) é o mesmo facto do lado da quantidade.
👛 As elasticidades rendimento e cruzada classificam os bens: normal ou inferior, substituto ou complemento.
👋 Próxima Sessão
Produção, Custos e Estruturas de Mercado.
Já temos os compradores. A seguir construímos o vendedor: de onde vêm os custos, porque é que a oferta é o custo marginal, e o que muda quando uma empresa enfrenta a curva da procura inteira. 🏭
Até para a semana. 🙌